Оцінки похибок наближення класів неперервних диференційованих функцій ламаними

Олександр Щитов; Микола Мормуль

Authors

Oleksandr Shchytov TEC-Lyceum No. 100 Author https://orcid.org/0000-0002-1435-2918
Mykola Mormul University of Customs and Finance Author https://orcid.org/0000-0002-8036-3236

Keywords:

function approximation, quantitative estimates, continuous and non-decreasing functions, modulus of continuity, integral metric

Abstract

In the metrics of continuous and non-decreasing functions φ(x), the following are obtained: a) estimates of the approximation of the classes of 1-periodic functions W^(2ν+1) Hω* (ν ∈ N), where ω(t) is an upwardly convex modulus of continuity, and by interpolating the functions f(t) ∈ W^(2ν+1) Hω*; b) by piecewise constant functions σ_n (f,t) in the integral metric L_p (0 < p < ∞); c) by piecewise constant functions σ_n (f,t) in a uniform metric. Estimates of the approximation errors of the classes of 1-periodic functions from the classes W^(2ν+1) Hω* (ν ∈ N), where ω(t) is the convex upward modulus of continuity, by the piecewise constant functions σn(f, t) in the integral and uniform metrics Lp (0 < p < ∞). Estimates are expressed in terms of the function Ω_2v(w, t). The accuracy of the error estimates of the obtained approximations has been clarified. The theorem on the connection between the continuous and monotonically increasing function φ(x) ∈ Ф on the interval [0, ∞) and any function W^(2ν+1) Hω* (ν∈N) and n = 2, 3, …, ∞ has been proved; as well as two lemmas and two consequences from the theorem. The results of the conducted research are a kind of extension of previously known results of approximation of functions to classes of 1-periodic functions and more general spaces φ(L). It is proved that the obtained estimates are non-improvable for n = 2m (m ∈ N) on the entire class W^(2ν+1) Hω*. The new results of the function approximation theory obtained in the course of the study can be used for further practical applications, in particular, in the wavelet theory for the analysis of frequency components of signals (time-dependent functions) by methods similar to the Fourier transform. An applied aspect of the use of the obtained scientific results is also the possibility of applying estimates of approximation errors of the theory of numerical methods in the construction of numerical algorithms and signal processing in circuit engineering.

Downloads

Download data is not yet available.

References

Корнейчук, Н. П. (1962). Об экстремальных свойствах периодических функций. Доклады АН УССР, 8, 993-998.

Сторчай, В. Ф. (1973). Точные оценки для норм дифференцируемых периодических функций в метрике L2. Український математичний журнал, 25, 6, 832-841.

Н. П. Корнейчук, Точные константы в теории приближения, Наука, Москва, 1987.

Черницкая, О. В. (1998). Об аппроксимации непрерывных функций кусочно-постоянными в интегральных метриках. Вестник Днепропетровского университета. Математика, 3, 128-137.

Tchenitskaya, O. V. (1999). Approximation of continuous functions classes by step functions in integral metrics. East journal on approximations, 5, 4, 403-418.

Черницкая, О. В. (1999). Поперечники классов H^ω [a,b]. Вестник Днепропетровского университета. Математика, 4, 101-105.

Малоземов, В. Н. (1966). Об отклонении ломаных. Вестник ЛГУ, 2, 7, 150-153.

Сторчай, В. Ф. (1969). Об отклонении ломаных в метрике Lp? Математические заметки, 5, 1, 31-37.

Логинов, А. С. (1969). Приближение непрерывных функций ломаными. Математические заметки, 6, 2, 149-160.

Малоземов, В. Н. (1967). К полигональной интерполяции. Математ. заметки, 1, 5, 537-540.

Корнейчук, Н. П. (1996). О линейных поперечниках классов. Український математичний журнал, 48, 9, 1255-1264.

Bel’skii, S. A. (2002). On Piecewise-Constant Approximation of Continuous Functions of n Variables in Integral Metrics. Ukrainian Mathematical Journal, 54, 358-370. Отримано з: https://doi.org/10.1023/A:1020505231310.

Иванов, В. И. (1988). Приближение в Lp кусочно-постоянными функциями. Mathematical Notes, 44(1), 523-532.

Pichugov, S. A. (1996). Approximation of measurable periodic functions in measure by step functions. Ukrainian Mathematical Journal, 48, 795-800. Отримано з: https://doi.org/10.1007/BF02384229.

Agoshkova, T. A. (2014). Approximation of Periodic Functions of Many Variables in Metric Spaces by Piecewise-Constant Functions. Ukrainian Mathematical Journal, 65, 1447-1459. Отримано з: https://doi.org/10.1007/s11253-014-0871-5.

Кочуров, А. С. (2013). Прямые и обратные теоремы о приближении кусочно-полиномиальными функциями. Фундаментальная и прикладная математика, 18(5), 129-144.

Шабозова, А. А. (2017). Приближение кривых ломаными в Lp. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 4(4), 622-630.

Шабозова, А. А. (2017). Приближение пространственных кривых ломаными в Lp. Труды Института математики и механики УрО РАН, 23(4), 311-318.

Конунова, У. Х. (2016). О приближении непрерывных функций линейными интерполяционными сплайнами (ломаными). Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 3, 24-31.

Корнейчук, Н. П. (1981). Поперечники в Lp классов непрерывных и дифференцируемых функций и оптимальные методы кодирования и восстановления функций и их производных. Известия АН СССР. Серия математика, 45, 2, 266-290.

Корнейчук, Н. П. (1984). Сплайны в теории приближения. Москва: Наука, 352 с.

Корнейчук, Н. П. (1976). Экстремальные задачи теории приближения. Москва: Наука, 320 с.

Корнейчук, Н. П. (1967). Точные оценки для норм дифференцируемых периодических функций в метрике L. Математические заметки, 2, 6, 569-576.