Оцінки похибок наближення класів неперервних диференційованих функцій ламаними
Ключові слова:
кількісні оцінки, неперервні та неспадні функції, модуль неперервності, інтегральна метрикаАнотація
У метриках неперервних та неспадних функцій φ(x) отримано наступне: а) оцінки апроксимації класів 1-періодичних функцій W^(2ν+1) Hω* (ν ∈ N), де ω(t) є вверхньою опуклою модулем неперервності, та інтерполяція функцій f(t) ∈ W^(2ν+1) Hω*; б) за допомогою кусково-сталих функцій σ_n (f,t) в інтегральній метриці L_p (0 < p < ∞); в) за допомогою кусково-сталих функцій σ_n (f,t) в однообразній метриці. Оцінки похибок апроксимації класів 1-періодичних функцій з класів W^(2ν+1) Hω* (ν ∈ N), де ω(t) є вверхньою опуклою модулем неперервності, за допомогою кусково-сталих функцій σn(f, t) в інтегральних і однообразних метриках Lp (0 < p < ∞). Оцінки виражені через функцію Ω_2v(w, t). Уточнено точність оцінок похибок отриманих апроксимацій. Доведено теорему про зв'язок між неперервною та монотонно зростаючою функцією φ(x) ∈ Ф на інтервалі [0, ∞) та будь-якою функцією W^(2ν+1) Hω* (ν ∈ N) і n = 2, 3, …, ∞; а також два леми та два наслідки з теореми. Результати проведених досліджень є своєрідним розширенням відомих раніше результатів апроксимації функцій до класів 1-періодичних функцій та більш загальних просторів φ(L). Доведено, що отримані оцінки є непокращуваними для n = 2m (m ∈ N) на всьому класі W^(2ν+1) Hω*. Нові результати теорії апроксимації функцій, отримані в ході дослідження, можуть бути використані для подальших практичних застосувань, зокрема, у теорії вейвлетів для аналізу частотних складових сигналів (залежних від часу функцій) за методами, схожими на перетворення Фур'є. Прикладний аспект використання отриманих наукових результатів також полягає у можливості застосування оцінок похибок апроксимації теорії числових методів у побудові числових алгоритмів та обробці сигналів у схемотехніці.
Завантажити
Посилання
Корнейчук, Н. П. (1962). Об экстремальных свойствах периодических функций. Доклады АН УССР, 8, 993-998.
Сторчай, В. Ф. (1973). Точные оценки для норм дифференцируемых периодических функций в метрике L2. Український математичний журнал, 25, 6, 832-841.
Н. П. Корнейчук, Точные константы в теории приближения, Наука, Москва, 1987.
Черницкая, О. В. (1998). Об аппроксимации непрерывных функций кусочно-постоянными в интегральных метриках. Вестник Днепропетровского университета. Математика, 3, 128-137.
Tchenitskaya, O. V. (1999). Approximation of continuous functions classes by step functions in integral metrics. East journal on approximations, 5, 4, 403-418.
Черницкая, О. В. (1999). Поперечники классов H^ω [a,b]. Вестник Днепропетровского университета. Математика, 4, 101-105.
Малоземов, В. Н. (1966). Об отклонении ломаных. Вестник ЛГУ, 2, 7, 150-153.
Сторчай, В. Ф. (1969). Об отклонении ломаных в метрике Lp? Математические заметки, 5, 1, 31-37.
Логинов, А. С. (1969). Приближение непрерывных функций ломаными. Математические заметки, 6, 2, 149-160.
Малоземов, В. Н. (1967). К полигональной интерполяции. Математ. заметки, 1, 5, 537-540.
Корнейчук, Н. П. (1996). О линейных поперечниках классов. Український математичний журнал, 48, 9, 1255-1264.
Bel’skii, S. A. (2002). On Piecewise-Constant Approximation of Continuous Functions of n Variables in Integral Metrics. Ukrainian Mathematical Journal, 54, 358-370. Отримано з: https://doi.org/10.1023/A:1020505231310.
Иванов, В. И. (1988). Приближение в Lp кусочно-постоянными функциями. Mathematical Notes, 44(1), 523-532.
Pichugov, S. A. (1996). Approximation of measurable periodic functions in measure by step functions. Ukrainian Mathematical Journal, 48, 795-800. Отримано з: https://doi.org/10.1007/BF02384229.
Agoshkova, T. A. (2014). Approximation of Periodic Functions of Many Variables in Metric Spaces by Piecewise-Constant Functions. Ukrainian Mathematical Journal, 65, 1447-1459. Отримано з: https://doi.org/10.1007/s11253-014-0871-5.
Кочуров, А. С. (2013). Прямые и обратные теоремы о приближении кусочно-полиномиальными функциями. Фундаментальная и прикладная математика, 18(5), 129-144.
Шабозова, А. А. (2017). Приближение кривых ломаными в Lp. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 4(4), 622-630.
Шабозова, А. А. (2017). Приближение пространственных кривых ломаными в Lp. Труды Института математики и механики УрО РАН, 23(4), 311-318.
Конунова, У. Х. (2016). О приближении непрерывных функций линейными интерполяционными сплайнами (ломаными). Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 3, 24-31.
Корнейчук, Н. П. (1981). Поперечники в Lp классов непрерывных и дифференцируемых функций и оптимальные методы кодирования и восстановления функций и их производных. Известия АН СССР. Серия математика, 45, 2, 266-290.
Корнейчук, Н. П. (1984). Сплайны в теории приближения. Москва: Наука, 352 с.
Корнейчук, Н. П. (1976). Экстремальные задачи теории приближения. Москва: Наука, 320 с.
Корнейчук, Н. П. (1967). Точные оценки для норм дифференцируемых периодических функций в метрике L. Математические заметки, 2, 6, 569-576.
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2024 Олександр Щитов, Микола Мормуль (Автор)
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Всі статті, опубліковані в журналі Challenges and Issues of Modern Science, ліцензовані за ліцензією Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY). Це означає, що ви можете:
- Поширювати, копіювати та передавати статтю
- Адаптувати, реміксувати та створювати похідні роботи на основі статті
за умови, що ви надаєте належне посилання на оригінальну роботу, вказуєте ім'я авторів, назву статті, журнал та наявність ліцензії CC BY. Будь-яке використання матеріалів не повинно припускати схвалення авторами або журналом використаного матеріалу.
